योग sumlimits_{k = 1}^{20} {kfrac{1}{{{2^k}}} | vedclass

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Question

(A) माना $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{20}{{{2^{20}}}}$$\fra

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$2 - \frac{{11}}{{{2^{19}}}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{20}{{{2^{20}}}}$$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{19}{{{2^{20}}}} + \frac{20}{{{2^{21}}}}$दोनों समीकरणों को घटाने पर:$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{20}{{{2^{21}}}}$कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है:$\frac{1}{2}S = (1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}) - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$अतः,$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

योग $\sum\limits_{k = 1}^{20} {k\frac{1}{{{2^k}}}} $ किसके बराबर है?

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